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giovedì 6 aprile 2017

Pitagora e Mondrian, conferenza tenuta all'evento AmareMatica il 30 ottobre 2016.



Pitagora (Samo, -570 circa - Metaponto, -495 circa) filosofo greco antico. Fu matematico, taumaturgo, astronomo, scienziato, politico e fondatore a Crotone di una delle più importanti scuole di pensiero dell'umanità: la Scuola pitagorica.

Discorso tenuto all'evento AmareMatica il 30 ottobre 2016.


CITAZIONE INIZIALE

«Non so di nessun altro uomo che abbia avuto altrettanta influenza nella sfera del pensiero. 

Lo dico, perché ciò che appare come il platonismo, si trova già, analizzandolo, nell'essenza del pitagorismo. 

L'intera concezione di un mondo eterno rivelato all'intelletto, ma non ai sensi, deriva da lui. 

Se non fosse per lui, i Cristiani non avrebbero pensato a Cristo come al Verbo ed i teologi non avrebbero cercato prove logiche di Dio e dell'immortalità. 

Ma in lui, tutto ciò è ancora implicito». (Bertrand Russell)


VITA

Pitagora di Samo (-570; -495) è principalmente conosciuto come matematico, ma in realtà la sua figura è decisamente più poliedrica, stravagante e controversa. 

Fu sì un matematico, ma fu anche un astronomo, un filosofo, uno scienziato, un politico, un mistico ed un taumaturgo o mago, se preferite. 

Le notizie su Pitagora oscillano tra realtà e leggenda al punto che alcuni studiosi hanno addirittura messo in discussione la sua esistenza storica.

Per quanto ne sappiamo, nacque nell'isola di Samo. C'è chi sostiene che fosse figlio di un uomo facoltoso di nome Mnesarco, altri che suo padre fosse il dio Apollo (a voi la scelta!)

Si dice che viaggiò in Egitto e in Babilonia, dove apprese parte della sua grande sapienza. Infine si stabilì a Crotone nell'odierna Calabria, allora Magna Grecia, dove fondò una “scuola”.

VEGETARIANISMO

Pitagora è considerato l'iniziatore del vegetarianismo in occidente. 

Porfirio scrisse a proposito di Pitagora che: «Tanto aborriva da uccisioni e uccisori, che non solo si asteneva dal mangiare esseri viventi, ma neppure si accostava a macellai e cacciatori».

Alcuni riconducono questa scelta alimentare ad una delle sue dottrine: la metempsicosi (ovvero la trasmigrazione delle anime), già adottata prima di lui dagli Orfici.

Vi basti sapere che il loro motto era: «il corpo è la tomba dell'anima». 

Pitagora riprese il credo Orfico e vi aggiunse un significativo elemento di novità: l'anima dell'uomo è caduta sulla Terra a causa di una colpa originaria, ed è condannata a reincarnarsi fin quando non riesce a ripristinare il suo stato di purezza originario.

Ma con Pitagora la conoscenza diviene uno strumento di purificazione, l'ignoranza è una colpa da cui ci si può liberare mediante il sapere.

La redenzione necessita di un approfondimento contemplativo della conoscenza, che è una conoscenza di tipo matematico.

LA SETTA DEI PITAGORICI

Quella di Pitagora più che una scuola fu, allo stesso tempo: una setta mistico-religiosa, una comunità scientifico-filosofica e un partito politico aristocratico che, sotto questa veste, governò alcune città dell'Italia meridionale. 

I membri della setta venivano iniziati e dovevano sottostare a precise regole, alcune delle quali davvero stravaganti...

Un buon pitagorico non doveva: consumare fave; raccogliere ciò che è caduto a terra; toccare i galli di colore bianco; spezzare il pane; addentare una pagnotta intera; scavalcare le travi; attizzare il fuoco con il ferro; strappare le ghirlande; sedersi su di un boccale; mangiare il cuore; camminare sulle strade maestre; permettere alle rondini di nidificare sul tetto; lasciare traccia della pignatta nelle ceneri quando viene tolta dal fuoco; guardare in uno specchio a lume di candela; lasciare l'impronta del proprio corpo sulle coperte al risveglio...

Gran parte di questi precetti derivano dalle antiche concezioni del tabù. 

Per quanto riguarda l'astensione dal consumo di fave, invece, si può azzardare una spiegazione sanitaria volta a limitare i casi di favismo, particolarmente diffusi nella zona del crotonese.

I membri della setta pitagorica vivevano in comunione di beni e perfino le donne erano ammesse con pari diritti rispetto agli uomini.

Coloro che appartenevano alla cerchia più ristretta dei discepoli venivano chiamati matematici (apprendisti); erano gli unici che potevano interagire con Pitagora e avere accesso al sapere più profondo quello “esoterico”.

Vi era poi una cerchia di seguaci esterni alla scuola, gli acusmatici (ascoltatori), ai quali non era imposto alcun precetto ed era consentito di partecipare in silenzio alle lezioni divulgative del maestro; costoro potevano conoscere soltanto la parte “essoterica” della dottrina.

Ma qual era questa conoscenza celata alle masse? 

Sostanzialmente Pitagora fu il primo che intuì l'importanza della matematica per descrivere il mondo. 

Come? Non c'è modo migliore per comprenderla di raccontare un mito...

FILOSOFIA

Si dice che Pitagora stesse passeggiando a Crotone seguito dai suoi discepoli, quando passò di fronte alla bottega di un mastro ferraio e udì i suoni dei martelli che battevano sulle incudini.

Il filosofo si accorse che alcuni di questi suoni si accordavano bene tra loro (concordanti) mentre altri invece stridevano (dissonanti).

Così entrò nella bottega ed iniziò a fare degli esperimenti. 

Prese due martelli uguali e si assicurò che producessero lo stesso suono battendoli sulla medesima incudine. I due oggetti erano in rapporto 1 a 1.

A questo punto prese due martelli di peso doppio l'uno rispetto all'altro, li batté sull'incudine e scoprì che i suoni erano gli stessi ma a un'altezza doppia. I martelli avevano masse in rapporto 2 a 1. Oggi diremmo che si tratta della stessa nota ma ad un'ottava superiore, come due Do successivi. 

Prese poi due martelli che erano 1,5 volte più pesanti l'uno dell'altro, picchiò l'incudine, ascoltò e si accorse che i suoni erano differenti ma consonanti. Il rapporto era di 3 a 2 e l'intervallo di separazione un intervallo di quinta, ad esempio Do-Sol.

E ancora, con un rapporto di masse pari a 4 a 3, cioè 1,3 periodico, ottenne note differenti ma consonanti, riproducendo un intervallo di quarta, ad esempio Do-Fa.


Continuò così a fare delle prove avvalendosi di un monocordo, e si rese conto che ciò che valeva per i pesi dei martelli funzionava per la lunghezza della corda di quello strumento.

Tese una corda fra due ponticelli, ed ottenne una nota di un'ottava superiore semplicemente dimezzandone la lunghezza, ponendo un ulteriore ponticello al centro dello strumento; ne pose un altro a 2/3 e riprodusse l'intervallo di quinta, e così via...

Le frazioni di numeri interi, da una parte descrivevano i rapporti fisici di pesi e lunghezze e dall'altra i rapporti armonici musicali.

In questo modo Pitagora maturò l'idea profonda che il mondo fisico della Natura e il mondo della musica e più in generale delle arti, fossero messi in comunicazione da un ponte che è la matematica. 

Pitagora comprese allora che la matematica è un linguaggio universale e su questa intuizione costruì la sua filosofia: 

esiste un'armonia del mondo, una ragione (logos), che può essere conosciuta mediante rapporti fra numeri naturali.

Il motto dei pitagorici che racchiude l'essenza della filosofia di Pitagora divenne «Tutto è numero», o più precisamente, «Tutto è numero razionale», dato che i numeri che i pitagorici utilizzarono per descrivere l'armonia del mondo erano quelli che oggi, non a caso, chiamiamo numeri razionali che, sostanzialmente, sono rapporti tra numeri interi.

L'archè, ricercato dai pensatori naturalisti della Scuola di Mileto, con i pitagorici si fece numero.

Tutto ciò rappresenta in estrema sintesi il mito costituivo della scienza e del suo linguaggio che è la matematica.

TEOREMA DI PITAGORA 

Chiunque ha sentito parlare del Teorema di Pitagora, ma in pochi sanno che né l'enunciato né la dimostrazione di quel risultato sono dovuti al personaggio da cui quel teorema prende il nome.

Già i babilonesi, e forse anche gli antichi egizi, erano al corrente che in un triangolo rettangolo la somma dei quadrati dei lati adiacenti all'angolo retto (detti cateti) eguaglia il quadrato del lato opposto all'angolo retto (detto ipotenusa), ma non erano in grado di fornire una dimostrazione generale. 

Una conquista che, con ogni probabilità, è successiva anche a Pitagora, il quale sembra si sia limitato a riscoprire in modo indipendente soltanto l'enunciato in un modo molto originale...

La leggenda narra che intuì il suo teorema mentre stava aspettando, annoiato, di essere ricevuto dal tiranno di Samo, Policrate. 

Seduto in un grande salone, Pitagora si mise ad osservare le mattonelle: erano quadrate, come a formare una scacchiera... (fare riferimento all'opera n°1)

Opera n°1

DIMOSTRAZIONE VISIVA 

In realtà, non si tratta di una vera dimostrazione, ma l'opera può aiutarci a intuire l'idea generale sottesa al teorema di Pitagora, perché dall'immagine è evidente che la somma dell'area occupata dalle mattonelle gialle equivale a quella coperta dalle mattonelle blu. 

Ed ecco che si può congetturare che, in generale, in un triangolo rettangolo l'area dei quadrati costruiti sui cateti sia uguale all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa. 

In quest'altra opera, la n°2, ho cercato di rappresentare l'idea di una delle tante ''dimostrazioni'' visive del teorema di Pitagora.

Opera n°2
Per una spiegazione di questa dimostrazione visiva si faccia riferimento a questo link.

Dico una delle tante, perché il Teorema di Pitagora è uno dei teoremi di più dimostrati al mondo, esiste perfino un saggio intitolato The Pythagorean Proposition che contiene 371 differenti dimostrazioni, classificate una ad una dallo scienziato statunitense Elisha Scott Loomis. 

MONDRIAN

I più accorti di voi avranno certamente riconosciuto nelle due opere uno stile particolare: quello dell'artista olandese Piet Mondrian.

Nel 1920 egli diede origine al Neoplasticismo. In verità, l'astrattismo di Mondrian si fonda su figure ortogonali, formate da bande verticali e orizzontali. 

Inizialmente Mondrian collaborò con l'architetto teorico e pittore Van Doesburg, fin quando quest'ultimo, nel 1924, realizzò un'opera con una diagonale. 

La rottura fu totale: per Mondrian le linee diagonali erano assolutamente proibite!

Il perché è presto detto: la diagonale per Mondrian indica una dimensione di sintesi tra l'orizzontale ed il verticale, mentre le sue opere avrebbero dovuto cogliere il necessario, l'essere essenziale. 

Mondrian passò la vita disegnando e ridisegnando opere. I risultati di questa ricerca incessante furono dei quadri realizzati su sfondo bianco, nei quali l'artista olandese impiegava il nero per marcare le linee di separazione, il blu, il rosso ed il giallo per le superfici geometriche. 

Immagine di un quadro autentico di Mondrian

Un giorno gli chiesero che cosa volesse esprimere con i suoi quadri, ed egli rispose:

«Cosa voglio esprimere con la mia opera? Niente di diverso da quello che ogni artista cerca: raggiungere l'armonia tramite l'equilibrio dei rapporti fra linee, colori e superfici. Solo in modo più nitido e più forte».

EPILOGO

Per ironia della sorte, fu lo stesso Teorema di Pitagora a mettere in crisi la dottrina fondamentale dei pitagorici.

In un triangolo rettangolo isoscele, cioè avente cateti con la medesima lunghezza, l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale al doppio dell'area di ciascuno dei quadrati costruiti sui due lati adiacenti all'angolo retto.

Supponiamo che i cateti siano lunghi 1 metro, quant'è lunga l'ipotenusa?

Per quanto detto, è sufficiente trovare quel numero che elevato al quadrato restituisce il valore 2, ma si dà il caso che quel valore non possa essere espresso come rapporto tra interi. In altre parole esistono dei numeri incommensurabili. In termini moderni diremmo che la radice quadrata di due è irrazionale.

Lo scopritore di questo fatto, Ippaso di Metaponto, divulgò queste nozioni all'esterno della scuola, contravvenendo alle prescrizioni del figlio di Apollo. 

I Pitagorici non la presero molto bene. Vi dico solo che i suoi compagni gli costruirono una tomba mentre egli era ancora in vita! Pare che Ippaso, per la sua empietà, fu colpito dall'ira divina e morì naufragando nel mare che bagna Crotone.

Storicamente parlando avvenne una crisi dei fondamenti, che gli Antichi Greci pensarono di risolvere rifondando la matematica sulla geometria.

Ciò nonostante, l'influenza del pensiero Pitagorico fu notevole nel corso della storia.

Il primo a trarne ispirazione fu Platone, che ereditò l'idea dell'importanza della matematica come linguaggio per descrivere il mondo e sviluppò una filosofia basata su forme elementari di tipo matematico. 

Sostanzialmente si tratta di triangoli che vanno a comporre solidi regolari che rappresentano i 4 elementi allora noti: terra, aria, acqua e fuoco.

Anche l'affermazione di Galileo Galilei nel Saggiatore secondo cui la filosofia naturale è scritta «in lingua matematica, e i suoi caratteri son triangoli, cerchi ed altre figure geometriche» è ispirata al pensiero pitagorico-platonico. 

Keplero arrivò ad intitolare la sua più grande opera “L'armonia del mondo”, e sostenne d'aver scoperto la sua Terza legge ipotizzando l'esistenza di un'armonia nell'universo, che si sarebbe manifestata attraverso dei rapporti musicali.

Ebbene, la terze legge di Keplero afferma che il quadrato del tempo T che un pianeta impiega a percorrere le propria orbita (periodo rivoluzione) è proporzionale al cubo della sua distanza media r dal Sole.

In formule T^2 = k r^3, dove k è una costante, e questo rapporto di 3 a 2 significa che c'è un rapporto di quinta nell'armonia che regola il moto dei pianeti. 

Anche Newton sostenne di aver scoperto la legge di gravitazione universale immaginando di applicare i risultati dell'armonia musicale di Pitagora alle dinamiche del moto dei corpi celesti.

Conducendo degli esperimenti con delle corde a cui vengono appese delle masse, si può studiare come variano i suoni al variare della tensione della corda.

In questo modo si può scoprire che la frequenza di un suono è direttamente proporzionale alla radice quadrata della tensione. 

Ma dal momento che la frequenza di un suono è anche inversamente proporzionale alla lunghezza della corda, ne consegue che la tensione di una corda è inversamente proporzionale al quadrato della sua lunghezza:

frequenza = k x (tensione)^1/2 [direttamente prop]

frequenza = z x 1/lunghezza [inversamente prop]

tensione = h x 1/(lunghezza)^2 [inversamente prop]

Se immaginiamo che l'universo sia una grande lira suonata dal dio Apollo e la Tensione delle corde sia uguale alla forza che lega i pianeti al Sole, poiché tensione inversamente proporzionale al quadrato della lunghezza allora anche la forza di attrazione deve essere inversamente proporzionale al quadrato distanza. E stranamente così è: 

F = G (m1 x m2) / r^2 (G cost. Gravit. Univ.)

E ancora, per giungere ai giorni nostri, basta passare dal macro al micro, ovvero dalla Legge di gravitazione alla moderna Teoria delle stringhe.

Secondo questa teoria, i costituenti ultimi dell'universo posti ai livelli fondamentali, sarebbero delle stringhe di dimensioni infinitesime ma non nulle; ciascuna di esse può vibrare in modi diversi, e ogni stato di vibrazione determina un tipo di particella sub-atomica. 

Semplificando, si ritiene che caratteristiche quali la massa di una particella, ma anche i modi in cui può interagire, dipendano essenzialmente dalla vibrazione delle stringhe, ovvero, in un certo senso, dalla “nota” che la stringa “emette” vibrando. 

Complessivamente l'universo appare come una grande sinfonia cosmica generata dai timbri dovuti alle vibrazioni delle stringhe.

Mirco Mariucci

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